Его отец, актер Александр Иванович Демич служил в Ермоловском театре, был арестован по доносу другого артиста и осужден на 20 лет лагерей. Он отбывал свой срок с 1937-го по 1957 год. Первые восемь лет провел на магаданских рудниках. Потом, в лагере, он встретил актрису того же Ермоловского театра, которая отказалась подписать донос на Александра Ивановича и поплатилась за это… В 1948 году у них появился сын.
Позднее отца Юрия стали привлекать к работе в магаданском театре, где он играл ведущие роли. Там же с ним работал актер Георгий Жженов.
Коллега Юрия по БДТ, актер Владимир Рецептер вспоминал: «Даже в шестьдесят лет отец Юрия Демича был необыкновенно силен и спортивен, легко делал сальто и был способен выстоять в любой драке. Известен случай, когда на него напали трое хулиганов, и Демич, как говорится, с полудара положил двоих, а третий убежал с криком: «Это я, Александр Иваныч, простите, не узнал!».
В 1966 году Юрий окончил студию при театре имени Максима Горького в Куйбышеве и поступил в ГИТИС.
После освобождения у Александра Ивановича была возможность вернуться в Москву, но он предпочел оказаться в Самаре. Там же, в Самаре, Юрий Демич за семь сезонов сыграл сорок ролей, среди которых были царь Федор Иоаннович, Глумов («На всякого мудреца довольно простоты»), Жадов («Доходное место»). Вдобавок он ярко и выразительно сыграл Гамлета, заявив о себе как один из очень крепких и ярких молодых актеров страны.
Позже Юрий Демич стал артистом БДТ. Он получил много ролей, легко и органично вошел в репертуар, стал своим в труппе. Все обращали внимание не только на его красивую внешность, но и на буквально бешеный темперамент.
Однажды, во время спектакля «Амадей» Демичу стало плохо. Коллеги решили, что он нетрезв, хотя приехавшая «Скорая помощь» поставила диагноз «поражение головного мозга». Однако, Юрия все равно вывели из всех спектаклей, он два месяца ничего не играл, и решил уйти из театра. Об этой ситуации, в которой коллеги повели себя крайне некорректно по отношению к Демичу, есть рассказ в замечательной передаче «Чтобы помнили» Леонида Филатова.
Демич много снимался в кино. Режиссер Тимофей Левчук вначале снял Демича в картине «Семья Коцюбинских», а затем в двух фильмах «Дума о Ковпаке». На телевидении он сыграл главную роль Кирилла Извекова в сериале «Первые радости». На счёту Юрия Демича около 40 ролей в кино. Также он принимал участие в дубляже зарубежных фильмов.
В начале 70-х годов Демич женился, но прожил с женой всего лишь несколько лет, после чего развёлся. В этом браке 6 мая 1970 года у него родился сын Александр, ставший впоследствии тоже актёром. В 80-х годах он женился на актрисе Татьяне Люкшиновой, с которой прожил до конца своих дней.
Да, он очень спешил жить, и не могли его ублажить ни награды, ни почетные звания: заслуженный артист РСФСР, лауреат Государственной премии СССР, лауреат премии Ленинского комсомола…
Но уже начиналась беда…
«Пламенными до безумия и прямолинейными до гибели» – так охарактеризовал его персонажей некий театральный критик. Вероятно, еще и поэтому у красавца Демича возникла масса поклонниц, которые по-женски мудро оценили всех его романтических мучеников идеи. К тому же Юра, сильный и спортивный (бассейн, теннис, каратэ), увы, все больше и больше от самого себя отступал, все крепче привязывался к проклятой водке… Страдала жена (Ирина Демич и сейчас актриса все того же МДТ, додинского «Театра Европы»), страдал сын… В результате хорошая семья развалилась…
Да и в родном БДТ, где Товстоногов, известно, алкоголиков на дух не переносил, стали у Юры возникать проблемы. И вот однажды на спектакле «Амадей», в котором Демич играл Моцарта, Стржельчик (Сальери) громогласно возмутился: «Он же пьян!» – и потребовал, чтобы дали занавес.
Так и сделали. Товстоногов был в ярости. Демича уволили с большим скандалом…
Юра перебрался в Москву, оказался в труппе Ермоловского театра, но ничего путного там не вышло… Когда в 1989-м Георгий Александрович скончался, он предпринял попытку вернуться в БДТ, но Лавров, новый руководитель Большого драматического, отказал.
..во время одной гастрольной поездки, 19 декабря 1990г у него случился разрыв вен пищевода, сильное кровотечение. Его новая жена, Таня Люкшина вызвала «скорую», которая появилась лишь через сорок минут. Юра потерял много крови, потом, уже на больничной койке, впал в кому, и 24-го – конец…
Ему было всего сорок два.