Родился 24 марта 1944 года в Воронежской области (в эвакуации). Отец пропал без вести в годы войны. Мать беременную, вывезли из блокадного Ленинграда в Воронежскую область, где Алексей Александрович родился и прожил год. После войны семья вернулась в Ленинград.
Ленинградский школьник Леша Литвинов заканчивал пятый класс, когда в школу, где он учился, располагавшуюся по соседству со студией "Ленфильм", пришли ассистенты режиссера Геннадия Казанского, который искал исполнителя главной роли в задуманной им экранизации сказки Лазаря Лагина "Старик Хоттабыч". Отобрали несколько мальчиков, в том числе и Лешу, и пригласили на кинопробы. Но Литвинов их не прошел. Выбрали другого. Однако через месяц съемок режиссер понял, что у того - другого мальчика - получается не то, что нужно, и он пригласил Лешу Литвинова.
Мальчика с помощью перекиси водорода сделали блондином, так как по сюжету главный герой пионер Волька был белокурым мальчуганом. А за съемки заплатили аж тысячу рублей (после денежной реформы 1961 года эта сумма стала равняться 100 рублям). Такие деньги в конце 50-х годов прошлого века не все взрослые зарабатывали. Больше всего радовалась получке мама Алексея, ведь ей пришлось одной, без мужа, пропавшего без вести во время войны, воспитывать мальчика, в том числе и в блокаду Ленинграда.
После выхода "Старика Хоттабыча" Леша Литвинов, как говорится, проснулся знаменитым. И на него посыпались предложения новых ролей в кино. В одном фильме под рабочим названием "Первомайская, дом 7" мальчик уже начал сниматься, но в 1957 году картину закрыли. От других предложений школьник уже стал отказываться. Работа в кино его сильно не заинтересовала. "Мне нравилось все, что было связано с машинами, электричеством, - вспоминал впоследствии Алексей Александрович. - Поэтому после школы я пошел в электромеханический техникум. Решил, что лучше стать грамотным технарем, чем посредственным артистом. Техника победила во мне театр и кино". Много лет Литвинов проработал сначала электромехаником по эскалаторам в ленинградском метро, потом электриком на железной дороге. А в 1995 году устроился электриком на стройку, где проработал еще восемь лет - до выхода на пенсию. По его словам, товарищи по работе и не знали, что в детстве их коллега сыграл знаменитого Вольку.
Сейчас Алексей Александрович - пенсионер, вместе со второй супругой живет в 50 километрах от Санкт-Петербурга в небольшом деревенском домике. Говорит, что хоть и работал всю жизнь, особых денег скопить не удалось. "После съемок в "Хоттабыче" я и мои приятели - мы все сразу на два-три года взрослее стали, - рассказывал в одном из интервью Алексей Александрович. - Поняли, как тяжело зарабатываются деньги. Но я всегда любил свою работу. Ходил на нее как на праздник. А в деревне мне нравится: чистый воздух, теплая печка... Интернет подключил. Еще веселее стало!" Летом бывший пионер Волька подрабатывает немного - устанавливает у дачников спутниковые антенны. "Не бедствуем, но и шиковать не приходится", - говорит он. "Эх, смотрю я наш фильм иногда и думаю: а ведь я бы лучше мог сыграть! - добавляет Литвинов. - Вернуть бы то время! Какие фильмы были! Сегодня таких добрых детских картин уже не снимают! И я рад, что еще долго зрители будут смотреть "Хоттабыча" и, может, вспомнят меня".